L-adic Representation

定义 Definition

ℓ-进表示（l-adic representation）：在数论与代数几何中，指把某个群（常见如绝对伽罗瓦群或基本群）的元素表示为作用在一个ℓ-进向量空间（通常是 \(\mathbb{Q}_\ell\) 或其有限扩张上的有限维向量空间）上的线性变换，从而得到一个同态
\[ \rho: G \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_\ell). \]
常用于研究代数簇、椭圆曲线等对象的算术性质（例如通过 Tate 模、étale 上同调等）。

例句 Examples

An ℓ-adic representation can encode how the Galois group acts on torsion points.
ℓ-进表示可以刻画伽罗瓦群如何作用在扭点上。

The study of ℓ-adic representations arising from étale cohomology links arithmetic geometry with automorphic forms and the Langlands program.
研究来自 étale 上同调的 ℓ-进表示，把算术几何与自守形式及朗兰兹纲领联系起来。

发音 Pronunciation (IPA)

/ɛl ˈædɪk ˌrɛprɪzɛnˈteɪʃən/

词源 Etymology

ℓ-adic 源自 p-adic 的命名传统：其中 \(\ell\)（常写作 “ℓ”）表示一个素数，用来指定所用的“进制/赋值”背景是 \(\ell\)-进数域 \(\mathbb{Q}_\ell\)。adic 在数学里指与“按某种理想或赋值进行完备化（completion）”相关的结构；“p-adic”这一术语与亨泽尔（Hensel）对 p-adic 数的系统化工作密切相关，后来推广到一般素数 \(\ell\)。

相关词 Related Words

• Abelian
• Automorphic
• Cohomology
• Étale
• Frobenius
• Galois
• Local Field
• P-adic
• Tate Module
• Weil Group

文学与名著用例 Literary Works

• Jean-Pierre Serre, Abelian ℓ-adic Representations and Elliptic Curves（专门讨论 ℓ-进表示与椭圆曲线）
• J. S. Milne, Étale Cohomology（通过 étale 上同调系统引入相关 ℓ-进表示）
• P. Deligne, La conjecture de Weil. I（与 ℓ-进上同调、Frobenius 特征值等密切相关）
• Grothendieck 等, SGA 4: Théorie des topos et cohomologie étale des schémas（étale 上同调与相关表示论框架）
• Grothendieck 等, EGA（为现代代数几何语言奠基，间接支撑 ℓ-进表示的标准语境）